Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & x & - 3 \\ 2 & - 1 & 2 x \\ - 1 & 2 & - 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 x \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 2 x \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 x \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 2 & 2 x \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 2 x \\ 2 & - 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} 2 & 2 x \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 2 x \\ 2 & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- - 1 - 2 (2 x)) - x | \begin{array}{c} 2 & 2 x \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (1 - 2 (2 x)) - x | \begin{array}{c} 2 & 2 x \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$1 (1 - 4 x) - x | \begin{array}{c} 2 & 2 x \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 2 x \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 - 4 x) - x (2 \cdot - 1 - - (2 x)) - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 - - (2 x)) - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 - (- 2 x)) - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 + 2 x) - 3 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 + 2 x) - 3 (2 \cdot 2 - - - 1)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 + 2 x) - 3 (4 - - - 1)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- - - 1$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 + 2 x) - 3 (4 - 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 + 2 x) - 3 (4 - 1)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$1 (1 - 4 x) - x (- 2 + 2 x) - 3 \cdot 3$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $1 - 4 x$ par $1$ .

$1 - 4 x - x (- 2 + 2 x) - 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 4 x - x \cdot - 2 - x (2 x) - 3 \cdot 3$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 - 4 x + 2 x - x (2 x) - 3 \cdot 3$

Étape 5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - 4 x + 2 x - 1 \cdot 2 x \cdot x - 3 \cdot 3$

Étape 5.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.5.1.1

Déplacez $x$ .

$1 - 4 x + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 \cdot 3$

Étape 5.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - 4 x + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} - 3 \cdot 3$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 4 x + 2 x - 2 x^{2} - 3 \cdot 3$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$1 - 4 x + 2 x - 2 x^{2} - 9$

Étape 5.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 4 x + 2 x - 2 x^{2} - 8$

Étape 5.3

Additionnez $- 4 x$ et $2 x$ .

$- 2 x - 2 x^{2} - 8$